Câu hỏi

1) Có 80 hào bằng nhôm trong đó có một hào nhẹ hơn, tất cả các hào còn lại như nhau, làm thế nào để chỉ cân 4 lần mà không có quả cân sẽ tìm được đồng hào nhẹ?

2/ Có 13 đồng tiền, 1 đồng giả (không biết nặng hay nhẹ hơn so với đồng thật), làm thế nào để chỉ với 3 lần cân tìm được đồng giả?

------------------------------------------------------------------------------

Đáp án

1) Chia ra làm 3 phần 27,26,27, rồi cứ tiếp chia làm 3 phần sử dụng tính chất cân thăng bằng là bạn sẽ tìm ra.

2) Ta chia 13 đồng tiền đã cho thành 3 nhóm
Giả sử
Nhóm 1:có 4 đồng tiền
Nhóm 2: có 4 đồng tiền
Nhóm 3: có 5 đồng tiền
Bước 1: cân 2 nhóm 1 và 2 (có số lượng bằng nhau). Xảy ra 2 trường hợp:

A- Cân thăng bằng

---> tiền giả nằm trong nhóm 3 (gồm 5 đồng tiền)

Lúc này số đồng tiền ở nhóm 1 và 2 đều là thật --> ta chọn 1 đồng bất kì trong nhóm 1 hoặc 2 làm chuẩn (nhớ đánh dấu) và đánh số 5 đồng tiền trong nhóm 3 là 1,2,3,4,5

Bước 2 a : ta đặt lên đĩa cân thứ nhất gồm đồng chuẩn +đồng 1 (trong nhóm 3), Đĩa cân còn lại gồm đồng 2 và 3 ---> 2 trường hợp:

Nếu cân thăng bằng:--> đồng giả là 4 hoặc 5.

Bước 3 a.1: Lúc này ta đem cân : đồng chuẩn và đồng 4.Nếu cân thăng bằng tiếp --> tiền giả là đồng 5. Ngược lại không thăng bằng thì đồng 4 giả

Nếu cân không thăng bằng: ---> suy ra đồng 4 và 5 chắc chắn thật.....Giả sử đĩa cân chứa đồng 2 và 3 nhẹ hơn-->

Bước 3.a2: ta tiếp tục cân lần cuối để so sánh khối lượng của 2 đồng 2 và 3
Nếu cân thăng bằng --> đồng 1 giả
nếu không cân bằng --> đồng giả chính là đồng 2 hoặc 3 --- hay đó chính là đồng có khối lượng nhẹ hơn

B- Cân không thăng bằng

--------> Đồng tiền giả sẽ nằm trong nhóm 1 hoặc 2.
Ta giả sử cân lệch vè phía nhóm 1 (tức nhóm 1 nặng hơn)......Nếu nhóm 1 nhẹ hơn thì lập luận tương tự

Bước 2
Ta đem cân nhóm 3(toàn tiền thật) và nhóm 1 (sau khi bốc thêm 1 đồng từ nhóm 2 sang --tức đồng tiền này cần đánh dấu và nó có thể thật hay giả vì điều này ta chưa biết). Khi đem cân thì sẽ xảy ra 3 trường hợp:

+/ Trường hợp 1: Cân thăng bằng. đồng tiền giả nằm trong nhóm 2 và nhẹ hơn
+/ Trường hợp 2: Cân nặng về phía nhóm 1. Đồng tiền giả nằm trong nhóm 1 (cũ - tức ban đầu trước khi bỏ thêm 1 đồng từ nhóm 2 sang) và là đồng nặng hơn
+/ Trường hợp 3: Cân lệch về phía nhóm 3 (tức nhóm 1 nhẹ hơn).Đồng tiên giả là đồng tiền mới chuyển từ nhóm 2 sang (tức là đồng bị đánh dấu) và là đồng nhẹ

Tới đây, sau mỗi trường hợp ta đã xác định được tiền giả nặng hay nhẹ hơn tiền thật rồi --> còn 1 lần cân nữa thì chắc chắn sẽ tìm ra thôi.

Trường hợp 1 và trường hợp 2 lập luận tương tụ .

Bước 3 bước cuối cùng

Ta xét trường hợp 1: đồng tiền giả nằm trong nhóm 2 và nhẹ hơn, đặt nó theo thứ tự 1,2,3. Đem cân 1 và 2 nếu:
+/ cân thăng bằng tiền giả là đồng 3
+/ cân KHÔNG thăng bằng --> đồng tiền nào nhẹ hơn thì nó là giả

----> bài toán của chúng ta đã được giả quyết